ข้อที่ 16-20

16.กำหนดให้    U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}     ให้  A และ B เป็นเซตย่อยของ U โดยที่  A={2,3,4,5,6,7} 
, B={1,3,5,7,9} จงหา n(A - B)'

a. 3 ตัว         b. 5 ตัว         c. 7 ตัว         d. 9 ตัว



แนวคิด

   พิจารณา  n(A - B)  ซิ่งจำนวนสามชิก เท่ากับจำนวนสมาชิกของเซต A ทั้งหมด ลบด้วยจำนวนสมาชิก ของเซต A ที่ซ้ำกับเซต B    ซึ่งมีค่าเท่ากับ 6 - 3 = 3 ซึ่งยังไม่ใช่คำตอบ
 พิจารณา n(A - B)' ซึ่งมีค่าเท่ากับ จำนวนสมาชิกของ U ทั้งหมดลบ จำนวนสมาชิกของn(A - B)
 จะได้          10 - 3 = 7

ตอบ  c. 7 ตัว



..........................................................................................................................................................

17.ข้อใดต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นบริเวณที่แรเงา

    a.$\{(x,y)\mid \left|y\right|\le x\}$          b.$\{(x,y)\mid \left|y\right|\ge x\}$       c.$\{(x,y)\mid \left|x\right|\le y\}$           d.$\{(x,y)\mid \left|x\right|\ge y\}$

 

 

 

แนวคิด

จะเห็นว่าจุด $(2,0)$ และ $(-2,0)$ อยู่ในพื้นที่แรเงาของกราฟนี้ ดังนั้นจุดทั้งสองต้องสอดคล้องกับอสมการในความสัมพันธ์

1.ทดลองแทนจุด $(2,0)$ ลงในอสมการแต่ละตัวเลือก

$$\begin{array}{rc}\mathrm{ \; A})& 0\ge 2\end{array}$$$$\begin{array}{r}\otimes \end{array}$$

$$\begin{array}{r}\\ B)& 0\le 2\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \mathrm{ \; C})& 0\ge 2& \otimes \end{array}$$

$$\begin{array}{r}\\ D)& 0\le 2\end{array}$$

ตัดตัวเลือก A,C ทิ้งได้

2.ทดลองแทนจุด $(-2,0)$ ลงในอสมการในตัวเลือกที่เหลือ

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{ \; B})& 0\le -2& \otimes \end{array}$$

$$\begin{array}{r}\\ D)& 0\le 2\end{array}$$

ตอบ D

..........................................................................................................................................................

18.นาย ก ยืนอยู่บนหน้าผา มองเห็นนาย ข และนาย ค ยืนอยู่ห่างจากหน้าผาบนพื้นราบเท่ากับ 10 เมตร และ 90 เมตร ตามลำดับ ถ้านาย ก มองเห็นนาย ข และนาย ค เป็นมุมก้ม $\theta$ องศา และ $90-\theta$ องศา ตามลำดับถ้าไม่คิดความสูงของทั้งสามคน แล้วนาย ก อยู่บนหน้าผาที่ถูกจากพื้นราบกี่เมตร

    $\mathrm{a.10}$         b.17       c.25     d.30          

 

แนวคิด

1.วาดรูปประกอบ และกำหนดความสูงของหน้าผาเป็น h $h$

คำนวณมุมภายในสามเหลี่ยม จะได้

2.อ่านค่า $\tan \theta$ จากรูปสามเหลี่ยม แล้วแก้ระบบสมการหา $h$

จากมุม $\theta$ สีเหลืองจะได้

$$$$ 

 

จากมุม $\theta$ สีแดงด้านบน จะได้

$$$$

 

 

จับ $\tan \theta$ ทั้งสอง เท่ากันแล้วแก้สมการหาค่า $h$

$$\begin{array}{r}\frac{}{}\end{array}$$ 

ตอบ30

..........................................................................................................................................................

19.ให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตซึ่ง $n(A)=7$ , $n(B)=4$ และ $n(A\cap B)=3$  ถ้า$$C=(A-B)\cup (B-A)$$แล้ว $n(P(C))$ เท่ากับเท่าใด

 a.17       b.25       c.32       d.37

 

 

แนวคิด

 

1.วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ประกอบ

เริ่มเติมจำนวนสมาชิกจากบริเวณตรงกลาง $A\cap B$ ซึ่งเท่ากับ 3

 

เนื่องจาก $n(A)=7$ ลบส่วนตรงกลางทิ้งไป 3 จะเหลือ $n(A-B)=4$  ทำนองเดียวกัน จาก $n(B)=4$ ลบส่วนตรงกลางไป 3 จะเหลือ $n(B-A)=1$ ดังรูป

2.คำนวณ $n(C)$ และ $n(P(C))$

 

จากรูป หรือ จากข้อมูลในขั้นตอนที่แล้ว เราจะพบว่า

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{ \; n}(C)& =& n(A-B)+n(B-A)\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\\ & \; =& 4+1\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ & =& 5\end{array}$$

จากสูตรจำนวนสมาชิกของพาวเวอร์เซต

 

ตอบn(P(C))=32 $n(P(C))=32$

..........................................................................................................................................................

20.ในการสำรวจวิชาที่นักเรียน 200 คนที่ชอบอย่างน้อยหนึ่งวิชา ปรากฏว่า

• 130 คน ชอบวิทยาศาสตร์
• 140 คน ชอบคณิตศาสตร์
• 80 คน ชอบศิลปะ
• 100 คน ชอบวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์
• 30 คน ชอบวิทยาศาสตร์และศิลปะ
• 50 คน ชอบคณิตศาสตร์และศิลปะ

นักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวมีกี่คน

a.17     b.20    c.23   d.30

แนวคิด
1.ใช้สูตรยูเนี่ยนสามเซตหาจำนวนนักเรียนที่ชอบทั้งสามวิชา

ให้

• Sแทน เซตของนักเรียนที่ชอบวิทยาศาสตร์ 
• $M$ แทน เซตของนักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์
• $A$ แทน เซตของนักเรียนที่ชอบศิลปะ

จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ สามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ทางเซตได้ดังนี้

• $n(S\cup M\cup A)=200$
• $n(S)=130$
• $n(M)=140$
• $n(A)=80$
• $n(S\cap M)=100$
• $n(S\cap A)=30$
• $n(M\cap A)=50$

จากสูตรยูเนี่ยนสามเซต แทนค่าจำนวนสมาชิกลงไป
$$\begin{array}{r}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}n(S\cup M\cup A)& =& n\left(S\right)+n\left(M\right)+n\left(A\right)-n(S\cap M)-n(S\cap A)-n(M\cap A)+(S\cap M\cap A) \end{array}$$
$$\begin{array}{r} \; 2\\ 00& =& 130+140+80-100-30-50+n(S\cap M\cap A)\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\\ \mathrm{ 200}& =& 170+n(S\cap M\cap A)\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\\ \mathrm{ n}(S\cap M\cap A)& =& 200-170\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{ n}(S\cap M\cap A)& =& 30\end{array}$$

ซึ่งจะได้จำนวนนักเรียนที่ชอบทั้งสามวิชา 30 คน

2.วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

เริ่มเติมจำนวนสมาชิกจากส่วนตรงกลางก่อน (ช่องที่นักเรียนชอบทั้งสามวิชา)

จากนั้นนำข้อมูลอินเตอร์เซคชั่นสองเซตมาลบออกด้วย จำนวนนักเรียนที่ชอบทั้งสามวิชา

• $n(S\cap M)=100$ หัก 30 คน ได้ 70 คน
• $n(S\cap A)=30$ หัก 30 คน ได้ 0 คน
• $n(M\cap A)=50$ หัก 30 คน ได้ 20 คน

เติมลงในช่องทั้งสาม

   เนื่องจากโจทย์ถามจำนวนนักเรียนที่ชอบวิชาคณิตศาสตร์อย่างเดียว ซึ่งแผนภาพที่มีอยู่เพียงพอที่จะคำนวณสิ่งที่โจทย์ถามแล้ว โดยการนำ $n(M)=140$ ไปลบด้วยสามส่วนที่ทราบจำนวนแล้ว

ซึ่งจะได้จำนวนนักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์อย่างเดียวเท่ากับ

$$140-70-30-20=20$$

ตอบ   จำนวนนักเรียนที่ชอบคณิตศาสตร์อย่างเดียวเท่ากับ 20 คน

อย่างไรก็ตามเราสามารถเติมจำนวนสมาชิกจนครบทุกช่องได้ดังนี้

ข้อนี้สามารถมุ่งเป้าไปที่คำตอบได้เลย โดยหลังจากที่หา $n(S\cap M\cap A)=30$ แล้ว ก็คำนวณหา

$$n(M\cap A)-n(S\cap M\cap A)=50-30=20$$

แล้วนำไปบวกกับ $n(S\cap M)$ ได้ สามส่วนสำคัญของ $M$ เพียงพอต่อการนำไปคำนวณสิ่งที่โจทย์ถามแล้ว