ข้อที่ 6-10

6.กำหนดให้ S={1,2,3,⋯,10} และ M={(xyzx)|x,y,z∈S}
ถ้าสุ่มหยิบสมาชิก (xyzx)  จากเซต M มา 1 เมทริกซ์ ความน่าจะเป็นที่ x<y และ x<z มีค่าเท่ากับเท่าใด

a.          b.      c.          d.

แนวคิด

 

1.พิจารณาค่า y,z ที่เป็นไปได้กรณี x=1

ถ้า x=1 จากสมการ x<y และ x<z เมื่อแทนค่า x=1 จะได้ว่า 1<y และ 1<z หรือ
y>1และz>1

จะเห็นว่า y∈S ที่ y>1 มีอยู่ 9 ตัว คือ y=2,3,4,5,6,7,8,9,10
ทำนองเดียวกัน z∈S ที่ z>1 มีอยู่ 9 ตัว คือ z=2,3,4,5,6,7,8,9,10
เนื่องจากตำแหน่งของ y และ z ในเมทริกซ์ (xyzx) ส่งผลให้ตำแหน่งของ y กับ z มีความสำคัญ (สลับตำแหน่งกันแล้วจะได้เมทริกซ์ที่แตกต่างกัน) ดังนั้นเราสามารถนับจำนวนเมทริกซ์ที่มี x=1 โดยการเลือก y ก่อนแล้วค่อยเลือก z ทีหลังได้ ซึ่งมีจำนวนเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสองในกรณีนี้เท่ากับ
(จำนวน y ที่เป็นไปได้)×(จำนวน z ที่เป็นไปได้)=9×9=92 เมทริกซ์

2.พิจารณาค่า y,z ที่เป็นไปได้กรณี x=2

ในกรณีที่ x=2 แทนค่าลงในอสมการข้อจำกัดจะได้
y>2และz>2

ซึ่งมี y>2 ที่อยู่ใน S ทั้งหมด 8 ตัว คือ y=3,4,5,6,7,8,9,10
และมี z>2 ที่อยู่ใน S ทั้งหมด 8 ตัวเช่นเดียวกันกับ y
และจำนวนเมทริกซ์ที่มี x=2 และสอดคล้องกับอสมการ x<y และ x<z ทั้งหมดเท่ากับ
(จำนวน y ที่เป็นไปได้)×(จำนวน z ที่เป็นไปได้)=8×8=82 เมทริกซ์

3.พิจารณาค่า y,z ที่เป็นไปได้กรณี x ใดๆ และนับจำนวนเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับ x<y และ x<z ทั้งหมด

จากสองขั้นตอนที่แล้ว เราพบว่า

ถ้า x=1 จะมี y กับ z เป็น 2,3,4,5,6,7,8,9,10 และมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการ x<y และ x<z ทั้งหมด 929  เมทริกซ์
ถ้า x=2 จะมี y กับ z เป็น 3,4,5,6,7,8,9,10 และมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด 828  เมทริกซ์

เมื่อเราทดลองเพิ่ม x เป็น

x=3 จะมี y กับ z เป็น 4,5,6,7,8,9,10
           ซึ่งจะมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด 727  เมทริกซ์
x=4 จะมี y กับ z เป็น 5,6,7,8,9,10
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด 626  เมทริกซ์
x=5 จะมี y กับ z เป็น 6,7,8,9,10
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด 525  เมทริกซ์
x=6 จะมี y กับ z เป็น 7,8,9,10
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด 424  เมทริกซ์
x=7 จะมี y กับ z เป็น 8,9,10
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด 323  เมทริกซ์
x=8 จะมี y กับ z เป็น 9,10
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด 222  เมทริกซ์
x=9 จะมี y กับ z เป็น 10
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด 121  เมทริกซ์
x=10 จะไม่มี y>10 และไม่มี z>10 ใน S อีกแล้ว

ดังนั้นจำนวนเมทริกซ์ที่มี x,y,z สอดคล้องกับอสมการ x<y และ x<z ทั้งหมดเท่ากับ
n(E)=92+82+72+⋯+32+22+12=12+22+32+⋯+92=9∑k=1k2

เมื่อใช้สูตรซัมเมชั่น
n∑k=1k2=n6(n+1)(2n+1)

จะได้
n(E)=9∑k=1k2=96(9+1)(2(9)+1)=96(10)(19)=285

ดังนั้นจำนวนเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสองเท่ากับ n(E)=285

4.นับจำนวนเมทริกซ์ทั้งหมดใน M

เมทริกซ์ใน M สร้างจาก x,y,z ซึ่งอยู่ในตำแหน่งที่แตกต่างกันในเมทริกซ์ (xyzx) ซึ่งตำแหน่งที่ต่างกันมีความสำคัญ ดังนั้นจำนวนเมทริกซ์ทั้งหมดย่อมเกิดจากผลคูณของจำนวนวิธีเลือกตัวเลขมาใช้เป็น x,y และ z ซึ่ง x,y,z∈{1,2,3,⋯,10} โดยแต่ละตัวมีให้เลือก 10 ตัวเลข ดังนั้น
n(S)=(จำนวนวิธีการเลือก x)×(จำนวนวิธีการเลือก y)×(จำนวนวิธีการเลือก z)=(10)×(10)×(10)=1000

  

5.คำนวณความน่าจะเป็นที่ x<y และ x<z

จากขั้นตอนก่อนหน้าที่ได้ว่า n(E)=285 และ n(S)=1000 จะได้ว่า
P(E)=n(E)n(S)=2851000=0.2850

.......................................................................................................................................................... 

7.กล่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากไม่มีฝาปิดใบหนึ่งมีความจุ 126 ลูกบากศ์ฟุต ถ้าเส้นรอบฐานของกล่องยาว 20 ฟุต และกล่องสูง 6 ฟุต แล้วพื้นที่ผิวของกล่องเท่ากับเท่าใด

a.120     b.141       c.146      d.154     

 

แนวคิด  

1.วาดกล่องสี่เหลี่ยม

โจทย์กำหนดให้กล่องสีเหลี่ยมมีความสูง 6 ฟุต เราจึงสมมุติความกว้างและความยาวเป็น x และ y ฟุต ตามลำดับ ได้

2.หาความกว้างและความยาวของกล่อง

สร้างสมการจากที่โจทย์กำนดให้ว่า มีความจุ 126 ความจุหาได้จาก กว้าง x ยาวx สูง

$$\begin{array}{}\end{array}$$126=6xy21=xy

และจาก เส้นรอบฐานของกล่องยาว 20 ฟุต ได้ว่า

$$\begin{array}{}\end{array}$$2x+2y=20x+y=10

จากสองสมการเราสามารถแก้ระบบสมการหาค่า x และ y ได้ แต่ในข้อนี้ พี่สังเกตง่าย ๆ ว่า สองจำนวนคูณกันได้ 21 บวกกันได้ 10 คือ 7 กับ 3 ดังนั้นความกว้าง คือ 3 ฟุต และความยาว คือ 7 ฟุต

3.คำนวณพื้นที่ผิวของกล่อง

จากกล่อง กว้าง 3 ฟุต ยาว 7 ฟุต สูง 6 ฟุต
กล่องประกอบด้วย 5 หน้าด้วยกัน คือ ฐาน 1 หน้า ด้านที่เป็นความกว้าง 2 หน้า และด้านที่เป็นความยาว 3 หน้า
ดังนั้นพื้นที่ผิดทั้งหมดคือ

$$\begin{array}{}\end{array}$$3⋅7+2⋅7⋅6+2⋅3⋅6=21+84+36=141

ตอบ  141

..........................................................................................................................................................

8.บริษัท เที่ยวทั่วไทย จำกัด ต้องการจัดนำเที่ยวสำหรับกลุ่มนักท่องเที่ยวไม่เกิน 40 คน โดยมีค่าเช่ารถ 10,000 บาท และค่าใช้จ่ายอื่น ๆ 250 บาทต่อคน ถ้าบริษัทคิดค่าบริการคนละ 600 บาท แล้ว จะต้องมีนักท่องเที่ยวอย่างน้อยที่สุดกี่คนบริษัทจึงจะได้กำไรไม่น้อยกว่า 2,000 บาท

a.34          b.35          c.36          d.37

แนวคิด 

1.สร้างสมการกำไร เพื่อหาจำนวนคนที่โจทย์ถาม

จาก

$$$$กำไร = รายได้ − ต้นทุน

สมมุติให้มีคนใช้บริการทั้งหมด x คน
บริษัทคิดค่าบริการคนละ 600 บาท รายได้ที่ได้ คือ 600x บาท
ต้นทุนมี 2 ส่วน คือ ค่าเช่ารถ 10,000 บาท และค่าใช้จ่ายอื่น ๆ 250x บาท ดังนั้นต้นทุนทั้งหมด คือ 10,000+250x บาท
ได้ว่ากำไร คือ $$        600x−(10000+250x)=350x−10000
โจทย์ต้องการกำไรมากกว่า 2,000 บาท

$$\begin{array}{}\end{array}$$             กำไร≥2000

$$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \end{array}$$350x−10000≥2000

$$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \end{array}$$              350x≥12000

$$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \end{array}$$                      x≥34.286

ดังนั้นจะต้องมีนักท่องเที่ยวน้อยที่สุด 35 คน ถึงจะได้กำไรมากกว่า 2,000 บาท

ตอบ   35

.......................................................................................................................................................... 

9.ข้อใดถูก

a.ข้อมูลที่จะวัดค่ากลางได้ต้องเป็นข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น

b.กรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อยควรใช้ฐานนิยมเป็นค่ากลางเพราะสามารถนับความถี่ของข้อมูลได้สะดวก

c.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางที่ไม่เหมาะสมกับข้อมูลที่มีบางค่าต่ำกว่าข้อมูลอื่น ๆ มาก

d.เนื่องจากมัธยฐานคือค่าของข้อมูลที่อยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งชุด ดังนั้นมัธยฐานจึงใช้เฉพาะกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่เท่านั้น

 

แนวคิด  

1.พิจารณาแต่ละตัวเลือก

ตัวเลือก A "ข้อมูลที่จะวัดค่ากลางได้ต้องเป็นข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น" ข้อความนี้ไม่ถูกต้องเพราะว่าข้อมูลเชิงคุณภาพสามารถวัดฐานนิยมได้ ซึ่งฐานนิยมถือเป็นค่ากลางค่านึง
ตัวเลือก B "กรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อยควรใช้ฐานนิยมเป็นค่ากลางเพราะสามารถนับความถี่ของข้อมูลได้สะดวก" การที่มีข้อมูลจำนวนน้อยไม่จำเป็นจะต้องใช้ฐานนิยมอย่างเดียว ไม่มีข้อจำกัดนี้ในการวัดค่ากลาง ตัวเลือกนี้จึงไม่ถูกต้อง
ตัวเลือก C "ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางที่ไม่เหมาะสมกับข้อมูลที่มีบางค่าต่ำกว่าข้อมูลอื่น ๆ มาก" ข้อนี้กล่าวถูกต้องเพราะว่าเป็นข้อจำกัดในการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ตัวเลือก D "เนื่องจากมัธยฐานคือค่าของข้อมูลที่อยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งชุด ดังนั้นมัธยฐานจึงใช้เฉพาะกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่เท่านั้น" ข้อความนี้ไม่ถูกต้องเนื่องจากไม่ว่าจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ หรือ จำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่ เราก็สามารถหามัธยฐานได้

ตอบตัวเลือก C กล่าวถูกต้อง

..........................................................................................................................................................  

10.ข้อมูลสองชุดดังนี้
$$\begin{array}{}\end{array}$$                                                                   ชุดที่ 1: 1 3 3 6 8 9

$$\begin{array}{l}\mathrm{}\\ \end{array}$$ชุดที่ 2: 2 3 4 5 5 5

ข้อใด ผิด

a.ค่าเฉลี่ยเลคณิตของข้อมูลุดที่ 1 มากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 2 อยู่ 0.5

b.ข้อมูลทั้งสองชุดมีมัธยฐานเท่ากัน

c.ฐานนิยมของข้อมูลทั้งสองชุดนี้ต่างกันอยู่ 2

d.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลทั้งสองชุดเท่ากับ 4.5

 

เฉลยละเอียด

1.พิจารณาตัวเลือก a

ตัวเลือก a บอกว่า ค่าเฉลี่ยเลคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 มากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 2 อยู่ 0.5
เราก็เริ่มตัวหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งสองชุดแล้วค่อยนำมาเปรียบเทียบกัน
คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 1 $1$

$$\begin{array}{r}{\stackrel{}{}}_{}\end{array}$$ 

คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 2 $2$

$$\begin{array}{r}{\stackrel{}{}}_{}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\stackrel{}{}}_{}\end{array}$$

ซึ่งค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งสองชุดห่างกัน 1 ไม่ใช่ 0.5 ได้ว่าตัวเลือก a กล่าวผิด เราสามารถตอบได้เลย
แต่สำหรับคนที่ไม่ได้เริ่มจากข้อ a เดี๋ยวพี่จะแสดงให้ดูว่าตัวเลือกอื่น ๆ กล่าวถูกต้องทั้งหมด

2.พิจารณาตัวเลือก b

ตัวเลือก b กล่าวว่า ข้อมูลทั้งสองชุดมีมัธยฐานเท่ากัน จากข้อมูล

$$\begin{array}{}\end{array}$$ชุดที่ 1: 1 3 3 6 8 9

$$\begin{array}{l}\mathrm{}\\ \end{array}$$ชุดที่ 2: 2 3 4 5 5 5

ข้อมูลทั้งสองชุดตำแหน่งมัธฐาน คือ 6+12 =3.5 $$6+12=3.5
เราจึงหาค่ามัธยฐานได้จากการนำตำแหน่งที่ 3 $3$ บวกกับ ตำแหน่งที่ 4 $4$ แล้วหาร 2 $2$
มัธยฐานของข้อมูลชุดที่ 1 $1$

$$\frac{\mathrm{<a\; href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2bArQG4K0T6ve1LpdVO9g3L12sYr5COtXwcoTNhQYLqtJkG4DSgvBR1tc-nH55tL9j8Dw0in67\_Go8PsmLte22y5irJb9V6SXmjTIPYVmBq8BD\_apt\_Vr0MIZXML8oVZyq4gGbUiJWoMk/s1600/aa.gif"\; imageanchor="1"><img\; border="0"\; src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2bArQG4K0T6ve1LpdVO9g3L12sYr5COtXwcoTNhQYLqtJkG4DSgvBR1tc-nH55tL9j8Dw0in67\_Go8PsmLte22y5irJb9V6SXmjTIPYVmBq8BD\_apt\_Vr0MIZXML8oVZyq4gGbUiJWoMk/s400/aa.gif"></a>}}{}$$

มัธยฐานของข้อมูลชุดที่ 2 $2$

$$\frac{\mathrm{}}{}$$ 

ซึ่งมีค่าเท่ากัน ตัวเลือก B กล่าวถูกต้อง

3.พิจารณาตัวเลือก C

ตัวเลือก C บอกว่า ฐานนิยมของข้อมูลทั้งสองชุดนี้ต่างกันอยู่ 2
ฐานนิยมของข้อมูลชุดที่ 1 คือ 3
ฐานนิยมของข้อมูลชุดที่ 2 คือ 5
ซึ่งต่างกันอยู่ 2 $2$ ตัวเลือก C กล่าวถูกต้อง

4.พิจารณาตัวเลือก D

ตัวเลือก D กล่าวว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลทั้งสองชุดเท่ากับ 4.5 เนื่องจำนวนข้อมูลทั้งสองชุดเท่ากัน เราสามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมโดยการจับบวกกันแล้วหาร 2 ได้เลย

$$\begin{array}{r}\text{ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม }\end{array}$$